Matematika - Barisan deret bilangan

Barisan Bilangan Sederhana
Barisan bilangan dibentuk oleh bilangan-bilangan yang disusun menurut aturan tertentu. Barisan bilangan ini dapat kita teruskan suku-sukunya apabila aturan untuk memperoleh suku berikutnya sudah ditentukan. Perhatikan barisan bilangan berikut ini : 1, 2, 4, 7, 11, ... Artinya : Suku pertama ditulis   U1 = 1               Suku ke-dua ditulis     U2 = 2               Suku ke-tiga ditulis     U3 = 4               Suku ke-empat ditulis  U4 = 7               Dan seterusnya ...              Suku ke-n ditulis Un Suku berikutnya dari barisan tersebut dapat diteruskan dengan aturan ”menambahkan bilangan asli berurutan mulai dari suku pertama”   Perhatikan barisan bilangan berikut :       ”Suku berikutnya diperoleh dengan menambahkan bilangan asli berurutan mulai dari suku pertama”. Dengan cara di atas maka untuk menentukan suku ke-n dapat dicari dengan meneruskan pola yang ada. Namun demikian, untuk n yang besar misalnya n = 50, kita akan mengalami kesulitan, untuk itu akan kita pelajari bagaimana menentukan suku ke-n dengan menggunakan rumus Un   Contoh-contoh barisan bilangan khusus antara lain : Barisan Bilangan Asli : 1, 2, 3, 4, ...  Rumus suku ke-n adalah Un = n Suku ke-10 adalah U10 = 10 Barisan Bilangan Genap : 2, 4, 6, 8, ... Rumus suku ke-n adalah Un = 2n Suku ke-20 adalah U20 = 2 x 20 = 40 Barisan Bilangan Ganjil : 1, 3, 5, 7, ...  Rumus suku ke-n adalah Un = 2n – 1 Suku ke-15 adalah U15 = 2 x 15 – 1 = 29 Barisan Bilangan Kuadrat / persegi : 1, 4, 9, 16, ...  Rumus suku ke-n adalah Un = n2 Suku ke-12 adalah U12 = 122 = 144 Barisan bilangan juga dapat diperoleh dari pengembangan pola yang teratur, contoh : Barisan Bilangan Persegi Panjang : 2, 6, 12, 20, ... Pola  , ... Rumus suku ke-n adalah Un = n(n+1) Suku ke-8 adalah U8 = 8 (8+1) = 8 x 9 = 72  Barisan Bilangan Segitiga : 1, 3, 6, 10, ... Pola  , ... Rumus suku ke-n adalah Un = ½ n(n+1) Suku ke-10 adalah U10 = ½ x 10 (10+1) = 5 x 11 = 55 Barisan Bilangan Pada Segitiga Pascal   Baris ke-n diperoleh dengan menjumlahkan dua suku berurutan pada baris sebelumnya Jumlah bilangan pada baris ke-1 = 1                       = 1 = 20 = 21-1      Jumlah bilangan pada baris ke-2 = 1 + 1           = 2 = 21 = 22-1 Jumlah bilangan pada baris ke-3 = 1 + 2 + 1           = 4 = 22  = 23-1  Jumlah bilangan pada baris ke-4 = 1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 23 = 24-1Rumus jumlah bilangan pada baris ke-n = 2n-1
Barisan Aritmetika dan Geometri
Barisan Aritmetika   Adalah barisan bilangan yang suku berikutnya didapat dari penambahan suku sebelumnya dengan bilangan yang tetap (tertentu), bilangan yang tetap tersebut dinamakan beda (b) Barisan bilangan : 2, 5, 8, 11, ... Suku awal / suku pertama atau a = 2 Beda atau b = 5 – 2 = 8 – 5 = 11 – 8 = 3 Barisan tersebut dinamakan barisan aritmetika naik Barisan bilangan : 20, 18, 16, 14, ... Suku awal / suku pertama atau a = 20 Beda atau b = 18 – 20 = 16 – 18 = 14 – 16 = -2 Barisan tersebut dinamakan barisan aritmetika turun   Rumus Suku ke-n (Un) dari Barisan Aritmetika   U1 = a         = a + (1-1)b U2 = a + b   = a + (2-1)b U3 = a + 2b = a + (3-1)b U4 = a + 3b = a + (4-1)b … Un = a + (n-1) b     Jadi rumus suku ke-n dari barisan aritmetika adalah :       dengan Un = Suku ke-n              a = suku awal / suku pertama              b = beda       Contoh : Tentukan suku ke-15 dan suku ke-20 dari barisan : 1 , 4 , 7 , 10 , ... Jawab : a = 1   b = 4 – 1    = 7 – 4    = 3 Un = a + (n-1) b U15 = 1 + (15 – 1) x 3       = 1 + 14 x 3       = 1 + 42       = 43 U20 = 1 + (20 – 1) x 3      = 1 + 19 x 3      = 1 + 57      = 58 Jadi suku ke-15 = 43 dan suku ke-20 = 58       Barisan Geometri Barisan geometri adalah Barisan bilangan yang suku-suku berikutnya diperoleh dari hasil kali suku sebelumnya dengan bilangan tetap yang tidak sama dengan nol. Bilangan tetap tersebut dinamakan pembanding (rasio) Barisan bilangan : 2, 6, 18, 54, ... Suku awal / suku pertama atau a = 2 Rasio atau r = 6 : 2 = 18 : 6 = 54 : 18 = 3 Barisan tersebut dinamakan barisan geometri naik Barisan bilangan : 20, 10, 5, 2,5 , ... Suku awal / suku pertama atau a = 20 Rasio atau r = 10 : 20 = 5 : 10 = ½ Barisan tersebut dinamakan barisan geometri turun Rumus Suku ke-n (Un) dari Barisan Geometri U1 = a       = a x r1-1 U2 = a x r  = a x r2-1 U3 = a x r2 = a x r3-1 U4 = a x r3 = a x r4-1 … Un = a  x rn-1 Jadi rumus suku ke-n dari barisan geometri adalah :   dengan Un = suku ke-n               a = suku awal / suku pertama               r = rasio   Contoh : Tentukan suku ke-9 dari barisan : 2 , 4 , 8 , 16 , ...   Jawab : a = 2 ,    r = 4 : 2 = 8 : 4 = 2 Un = a x rn-1 U9 = 2 x 29-1      = 2 x 28      = 2 x 256      = 512 Jadi suku ke-9 adalah 512
Deret Aritmetika dan Geometri
Deret Aritmetika Apabila barisan bilangan aritmetika dijumlahkan maka akan terbentuk deret Aritmetika Contoh : Barisan Aritmetika : 2, 6 , 10 , 14 , ... . Deret Aritmetika : 2 + 6 + 10 + 14 + ... . Jumlah n suku pertama deret aritmetika ditulis dengan Sn Jadi S1 = U1 = 2        S2 = U1 + U2 = 2 + 6 = 8        S3 = U1 + U2 + U3 = 2 + 6 + 10 = 18        S4 = U1 + U2 + U3 + U4 = 2 + 6 + 10 + 14 = 32        .....        Sn = U1 + U2 + U3 + ... + Un   Rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika Sn = U1 +    U2      +     U3     + ... + Un Sn =  a + (a + b)  + (a + 2b) + ... + Un Sn = Un + Un - b    + Un – 2b  + ... + a ----------------------------------------------- + 2.Sn = (a + Un) + (a + Un) + ... + (a +Un) 2.Sn = n (a + Un)  , karena Un = a + (n-1)b, maka Sn = (a + Un)   atau                                                                    = (a + a + (n-1) b )                                                                             = (2a + (n – 1) b) dengan Sn = jumlah n suku pertama              a  = suku awal              b  = beda           Contoh : Jumlah dari  100 + 95 + 90 + 85 + ... + 5 = ... Jawaban : a = 100 b = 95 – 100    = 90 – 95    = -5 Un = a + (n-1)b   5 = 100 + (n-1)(-5) 95 = (n-1)(-5) 19 = (n-1)   n = 20   Sn = (2a + (n – 1) b) S20 = (2x100 + (20 – 1)(-5))        =10 (200 - 95)        =10 (105)        =1050     Jadi jumlah dari 100 + 95 + 90 + 85 + ... + 5 = 1.050       Deret Geometri Apabila barisan bilangan geometri dijumlahkan maka akan terbentuk deret geometri Contoh : Barisan geometri : 2, 6 , 18 , 54 , ... . Deret geometri : 2 + 6 + 18 + 54 + ... . Jumlah n suku pertama deret aritmetika ditulis dengan Sn Jadi S1 = U1 = 2        S2 = U1 + U2 = 2 + 6 = 8        S3 = U1 + U2 + U3 = 2 + 6 + 18 = 26        S4 = U1 + U2 + U3 + U4 = 2 + 6 + 18 + 54 = 80        ...                Rumus jumlah n suku pertama deret geometri         Sn = U1 +    U2     +     U3     + ... + Un         Sn =  a +   (ar)    +    (ar2)   +  ... + arn-1    r x Sn =          (ar)     +    (ar2)   + .... + arn-1  + arn  - Sn– r.Sn =  a   +    0       +     0      +       +   0    + arn (1 – r)Sn = a                                                      – arn (1 – r)Sn = a (1 – rn)    untuk nilai r < 1, atau , untuk r > 1   dengan Sn = jumlah n suku pertama              a  = suku awal                                                                      r  = rasio                                                                                                                                                                   Contoh :    Jumlah dari  400 + 200 + 100 + 50 + 25 + 12,5 = ...                                                          Jawaban :    a = 400     r = 200 : 400                                                                = 100 : 200                                                                = ½     n = 6                                                           Jadi jumlah dari 500 + 200 + 100 + 50 + 25 + 12,5 = 787,5 sumber : http://bimprippt19.blogspot.co.id/